Вы пишите про статью 80, а мне говорят, что правильным будет оформление по статье 77 часть 1 пункт 3

Добрый день. Ст. 80 ТК РФ описывает порядок увольнения сотрудника по собственному желанию. При этом основания увольнения указаны непосредственно в ст. 77 ТК РФ. Таким образом, при заполнении трудовой книжки необходимо указывать п. 3 ч. 1 ст. 77 ТК РФ. 

Также на это указывает и Инструкция по заполнению трудовых книжек:

5.2. При прекращении трудового договора по основаниям, предусмотренным статьей 77 Трудового кодекса Российской Федерации (за исключением случаев расторжения трудового договора по инициативе работодателя и по обстоятельствам, не зависящим от воли сторон (пункты 4 и 10 этой статьи), в трудовую книжку вносится запись об увольнении (прекращении трудового договора) со ссылкой на соответствующий пункт указанной статьи. Например: «Уволен по соглашению сторон, пункт 1 статьи 77 Трудового кодекса Российской Федерации» или «Уволен по собственному желанию, пункт 3 статьи 77 Трудового кодекса Российской Федерации».