Как и у кого правильно запросить разрешение на прохождение медицинской комиссии?

Добрый день. В Вашем случае есть смысл обратиться к начальнику медслужбы части. Если он посчитает Ваше состояние здоровья необходимым для проведения ВВК, то командир части может Вас направить для проведения ВВЭ.

В силу положения о военно — врачебной экспертизе (Постановление Правительства РФ от 04.07.2013 N 565  «Об утверждении Положения о военно-врачебной экспертизе»)

Направление на освидетельствование в военно-врачебные комиссии, создаваемые в Вооруженных Силах, других войсках, воинских формированиях, органах и учреждениях, членов семей военнослужащих и членов семей сотрудников в целях определения возможности их проживания по состоянию здоровья в отдельных местностях организуется Министерством обороны Российской Федерации, другими федеральными органами исполнительной власти и федеральными государственными органами, в которых федеральным законом предусмотрена военная служба (приравненная служба).

При этом, в силу Приказа Министра обороны РФ от 15.02.2016 N 55 (если он проходит службу в ВС РФ)

 Направление на медицинское освидетельствование военнослужащих осуществляется:
а) прямыми начальниками от командира отдельной воинской части (начальника (руководителя) организации Вооруженных Сил) и выше

Поэтому направить на ВВК может только командир воинской  части, о чем ему следет подать соответствующий рапорт