Вопрос: кто из них прав и что делать?

Здравствуйте, Наталья!

Правы оба органа опеки. Согласно пункту 3 статьи 60 Семейного кодекса РФ,

При осуществлении родителями правомочий по управлению имуществом ребенка на них распространяются правила, установленные гражданским законодательством в отношении распоряжения имуществом подопечного (статья 37 Гражданского кодекса Российской Федерации).

Согласно пункту 2 статьи 37 Гражданского кодекса РФ,

Опекун не вправе без предварительного разрешения органа опеки и попечительства совершать, а попечитель — давать согласие на совершение сделок по отчуждению, в том числе обмену или дарению имущества подопечного, сдаче его внаем (в аренду), в безвозмездное пользование или в залог, сделок, влекущих отказ от принадлежащих подопечному прав, раздел его имущества или выдел из него долей, а также любых других действий, влекущих уменьшение имущества подопечного.

Видимо, в случае с покупкой доли дома с участком уменьшения имущества не происходит, а в случае с покупкой второй половины дома, которая без участка, уменьшение имущества всё же происходит. 

Единственным вариантом тут является обеспечения неуменьшения имущества ребенка в результате сделки. Как Вы это сделаете, это не столь важно — главное, чтобы ребенку было предоставлено равноценное во всех отношениях жилище взамен отчуждаемого. Можно просто взять обе доли приобретаемого участка и объединить их, чтобы замена одного жилья на другое была равноценной, а то у Вас получается, что несмотря на одинаковую стоимость домов, приобретаемая часть дома с участком будет стоить несоизмеримо больше, чем часть этого же дома без участка. Неудивительно, что орган опеки не даёт согласие. Попробуйте сначала объединить доли, и покупайте как целостный объект права собственности, а не как две доли по 1/2.