Как я могу подтвердить, что оба варианта - моё имя?

Здравствуйте. 

У вас сохранились хотя бы копии старых паспортов? Наличие фотокопий паспортов с отчетливо видной вашей фотографией вполне может помочь. 

Также рекомендую иметь переведенную версию приказа, который содержит ссылку на указанные правила транслитерации для того, чтобы объяснить такое изменение в присутственных местах. 

\

Более того. В данный момент транслитерация осуществляется по международным правилам ICAO (вот ссылка, страница 35) https://www.icao.int/publications/Documents/9303_p3_cons_en.pdf#page=35

Технически, вы можете привезти свой Российский паспорт, показать, опять же, фотографию в нем и показать написанное латиницей верно и по правилам транслитерированное имя. 

К сожалению, чётких руководств к действию в таких случаях попросту нет — каждый случай, по сути, будет решаться отдельно и разные ведомства могут потребовать разных доказательств, начиная от селфи с паспортом и заканчивая нотариальным переводом свидетельства о рождении — как вариант. 

Здравствуйте, Анастасия.

К сожалению, Вы несколько упустили момент, когда проблему можно было предотвратить.

Например, согласно Приказу МВД России от 31.03.2021 N 186 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по оформлению и выдаче паспортов гражданина Российской Федерации, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации за пределами территории Российской Федерации» Вы могли подать соответствующее заявление одновременно с заявлением о выдаче загранпаспорта:

32. В случае если заявитель желает изменить написание фамилии и (или) имени в оформляемом ему (гражданину, в отношении которого подано заявление) паспорте заявителем дополнительно представляется заявление об изменении написания в паспорте фамилии и (или) имени буквами латинского алфавита <1> (форма приведена в приложении N 4 к Административному регламенту), в котором указана причина, являющаяся основанием для изменения написания фамилии и (или) имени, с приложением одного из следующих подтверждающих документов, содержащих транслитерацию фамилии и (или) имени:
— <1> Далее — «заявление об изменении написания фамилии и (или) имени в паспорте».

ранее выданного паспорта либо паспорта, содержащего электронный носитель информации;

документы, подтверждающие факты регистрации актов гражданского состояния (о рождении, о перемене имени, о заключении брака либо расторжении брака, в котором указана присвоенная гражданину фамилия) в отношении гражданина, которому оформляется паспорт, выданные компетентным органом иностранного государства (в случае регистрации акта гражданского состояния компетентным органом иностранного государства);

паспорта супруга, фамилию которого заявитель приобрел при заключении брака;

паспорта родителя или законного представителя несовершеннолетнего, фамилию которого ребенок носит;
вида на жительство или другого документа, дающего право постоянного проживания гражданину за рубежом.

Поскольку внесение изменений в уже выданные паспорта не предусмотрено регламентами и нет ошибки уполномоченного органа, то, полагаю, Вы можете только подать заявление на выдачу второго паспорта (если у Вас этот, с «неправильным» написанием, только один, т.к. более двух загран.паспортов иметь нельзя). И вот уже при оформлении второго паспорта можно подать заявление о написании имени так, как Вам требуется. Но лучше все-таки заранее уточнить, направив письменный запрос в ГУ УВМ МВД, чтобы «на месте», если будут проблемы с сотрудниками МВД, у Вас был ответ из официального источника.