Может ли многодетная мать (дети 17 лет, 12 лет, 4 года), отработав 5 месяцев в организации взять отпуск с последующим увольнением?

Татьяна, добрый день.

Все условия относительно увольнения установлены в ст. 80 ТК РФ, по общему правилу это уведомление за 14 дней до планируемой даты/по соглашению сторон без отработки.

При этом, согласно части второй ст. 122 ТК РФ право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя. По соглашению сторон оплачиваемый отпуск работнику может быть предоставлен и до истечения шести месяцев.

Если работодатель не согласует оплачиваемый отпуск,  можете просить за свой счёт.