Могу ли выехать по внутреннему паспорту, например в абхазию?

Вопрос, возможно ли это решение оспорить в суде и какие перспективы у этого мероприятия?

 Из опыта личной практики скажу, что перспектива такого оспаривания минимальна. Снять ограничения Вы можете если они были наложены с нарушением, например, не верно определена продолжительность ограничений права на выезд.

В силу ст. 15 ФЗ от 15.08.1996 N 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию»

Право гражданина Российской Федерации на выезд из Российской Федерации может быть временно ограничено в случаях, если он:
1) при допуске к сведениям особой важности или совершенно секретным сведениям, отнесенным к государственной тайне в соответствии с законом Российской Федерации о государственной тайне, заключил трудовой договор (контракт), предполагающий временное ограничение права на выезд из Российской Федерации, при условии, что срок ограничения не может превышать пять лет со дня последнего ознакомления лица со сведениями особой важности или совершенно секретными сведениями

Таким образом, расчет срока принимается со дня, последнего ознакомления с документом с грифом «ОВ» или «СС» (исключения установлены для военнослужащих ФСБ — в отношении них ограничения действуют с даты увольнения).

Второе основание позволяющее оспорить данные ограничения — это снятие грифа секретности с документов, с которыми Вы знакомились или признание их утратившими свою актуальность. 
Для начала тут можно обратиться с заявлением в межведомственную комиссию по защите государственной тайны — для оценки данных сведений на предмет их актуальности.

Перспектива обжалования ограничений в таком случае зависит исключительно от выводов межведомственной комиссии.

При обжаловании общим моментом на который стоит обратить внимание — это разъяснения приведенные в Постановление Конституционного Суда РФ от 07.06.2012 N 14-П, указавшим на то что 

принятие решения о временном ограничении права гражданина на выезд из Российской Федерации ставится в зависимость не только от непосредственно предусмотренных ими формальных оснований; такое решение не может основываться на установлении одного лишь факта допуска к сведениям особой важности или совершенно секретным сведениям, отнесенным к государственной тайне, и во всяком случае требует выяснения характера конкретной информации, к которой гражданин имел доступ в рамках своей профессиональной деятельности, и степени ее секретности, в том числе на момент обращения в уполномоченные органы в связи с предполагаемым выездом за пределы страны, а также целей выезда и других обстоятельств, наличие которых позволяет сделать вывод о необходимости применения указанного ограничения.

Поэтому при обжаловании суд должен применить комплексный подход к изучению оснований в силу которых было принято данное решение.

Могу ли выехать по внутреннему паспорту, например в абхазию?

 Нет.

Вы просто не пройдете пограничный контроль. Сведения о наложенных ограничения передаются в пограничную службу ФСБ, которая через Департамент пограничного контроля доводит их до всех пограничных постов. Проверка осуществляется пофамильно без привязке к документам удостоверяющим личность — поэтому до снятия ограничений, даже предъявив общегражданский паспорт Вы не сможете выехать за пределы РФ. 

Насчет обжалования, то несомненно такое право у Вас есть, но какое решение будет принято, сказать трудно, а с учетом текущей ситуации, скорее всего оно будет не в Вашу пользу, поскольку формальное основание имеется (если конечно эти сведения не рассекречены)

Выезд в Абхазию возможен по паспорту гражданина РФ. Загранпаспорт для этих целей не требуется.