Работа с ВНЖ

В принципе трудовые отношения должны быть оформлены и это касается не только иностранных граждан, но и граждан РФ. 
Если вы имеете в виду, будет ли ответственность нести иностранный гражданин за осуществление неофициальной деятельности (КоАП РФ Статья 18.10. Незаконное осуществление иностранным гражданином или лицом без гражданства трудовой деятельности в Российской Федерации), то под донную статью такой иностранный гражданин не подпадает, так как есть вид на жительство, которое позволяет иностранному гражданину работать, а в статье говорится про иностранных граждан, у который нет законных оснований работать в России. 
Статья 16 ТК РФ указывает, что даже в случае фактического допущения к работе — трудовые отношения все равно возникают 

Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.

Также имейте в виду, что ежегодно иностранный гражданин с ВНЖ должен отчитываться о своих доходах, и если он не будет работать официально, то ему будет сложно подтвердить доходы. А при официальном трудоустройстве достаточно будет предоставить справку 2НДФЛ