Поставят ли его на учет и снимут ли, если обратиться в военкомат между призывами?

Обращаю Ваше внимание на ст. 10 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе», где отмечено, что 

1. В целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:
явиться в двухнедельный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства и (или) место пребывания, в том числе не подтвержденные регистрацией по месту жительства и (или) месту пребывания, либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию;

Таким образом, у него в равной мере есть обязанность в течение 14 дней как явиться для постановки, так и для снятия с воинского учета.

При этом стоит учесть, что для целей постановки его на воинский учет, он как минимум за 1 месяц до начала медицинского освидетельствования должен сдать и принести результаты анализов.

Исходя из этого времени его просто не успеют поставить на воинский учет.

Более того, столь незначительный временной интервал в который он также реализует обязанность по снятию с воинского учета, не позволяет отнести 2 недельный перерыв к пресечению срока его постоянного пребывания за границей.

В этой связи несмотря на его въезд в РФ на срок до 14 дней — указанное время не исключается из сроков его постоянного пребывания за пределами РФ, а следовательно, в силу ст. 8 Закона он не обязан стоять на воинском учете.

Таким образом, как уже отметил выше — у него нет обязанности вставать на воинский учет, если время его пребывания в РФ не превысит 14 дней.