Здравствуйте! Ни Трудовой, ни Гражданский кодексы не чинят в этом существенных препятствий.
Исключение составляют только действующие муниципальные и государственные служащие. Для них предпринимательская деятельность будет закрыта до тех пор, пока они сохраняют за собой эти должности. Недопустимо также вести предпринимательскую деятельность сотрудникам силовых ведомств, в том числе работникам полиции.
С точки зрения Гражданского кодекса вы вправе заниматься предпринимательской деятельностью наравне с другими гражданами РФ, следовательно, работодатель не имеет права чинить преграды.
В трудовую книжку вносятся исключительно сведения о работе по найму, а сведения об индивидуальных предпринимателях – в ЕГРИП. Это совершенно разные документы – информация из них не пересекается. Сведения из Реестра можно получить по запросу.