И с какого периода я могу оформлять страховку на квартиру, и закладную?

Здравствуйте! В акте должна стоять дата. 

застройщик просит подписать акт приемки

Дата должна быть. Открытая дата создает для Вас риски того, что Вы попадаете в зависимость от застройщика. Бывают случаи, когда приходится обращаться в суд для признания акта подписанным с определенной даты. Зачастую застройщики просто потом шантажируют дольщиков прося подписать дополнительное соглашение к договору о продлении сроков. Сами понимаете, что застройщик может потом поставить любую дату и доказать свою правоту о неправомерном задерживании сроков по вводу в эксплуатацию квартиры будет тяжело. 
В случаи проблем с вводом в эксплуатацию, признать себя обманутым дольником будет тяжело.

Без подписи директора строительной компании или уполномоченного лица и даты, акт вообще нельзя подписывать. 

 акта не будет, так объект до конца не прошёл межевание.

Нет. Они должны выполнить свои обязательства в сроки установленные договором в соответствии с ПП № 442 «Об установлении особенностей передачи объекта долевого строительства участнику долевого строительства».

а) срок передачи объекта долевого строительства застройщиком и принятия его участником долевого строительства по соглашению сторон может быть изменен в отдельности от других объектов долевого строительства, входящих в состав того же многоквартирного дома и (или) иного объекта недвижимости, но не ранее чем после получения в установленном порядке разрешения на ввод в эксплуатацию многоквартирного дома и (или) иного объекта недвижимости и без внесения изменений в проектную декларацию;

И с какого периода я могу оформлять страховку на квартиру, и закладную? От даты акта? Или с момента подписания?

Естественно от даты указанной в акте. С момента подписания Акта приемки-передачи квартиры продавец считается полностью исполнившим свои обязательства по Договору купли-продажи, и вся ответственность за квартиру переходит к покупателю.

Добрый день.

но даты у акта не будет, так объект до конца не прошёл межевание. Это законно?

 Нет, это не законно.

Верно ли понимаю, что квартира принимается по договору долевого участия?

Если так, то стоит учитывать, что требование по оформлению акта при передаче помещения определены в ст. 8 ФЗ  от 30.12.2004 N 214-ФЗ «Об участии в долевом строительстве многоквартирных домов и иных объектов недвижимости и о внесении изменений в некоторые законодательные акты Российской Федерации»

Причем до 31.12.2022 г. такая передача осуществляется с учетом особенностей установленных в Постановление Правительства РФ от 23.03.2022 N 442 «Об установлении особенностей передачи объекта долевого строительства участнику долевого строительства»

При этом, следует учесть, что срок исполнения застройщиком обязательства по передаче объекта долевого строительства необходимо исчислять от даты, указанной в договоре и ограничивающей наступление указанного срока. А соответственно установление в акте срока передачи квартиры, свидетельствует о соблюдении указанных требований.

Более того, в ст. 8 закона отмечено, что 

2. Передача объекта долевого строительства осуществляется не ранее чем после получения в установленном порядкеразрешения на ввод в эксплуатацию многоквартирного дома и (или) иного объекта недвижимости.

И в этой связи стоит учесть требования ст. 55 Градостроительного кодекса РФ, предполагающий, что 

3. Для принятия решения о выдаче разрешения на ввод объекта в эксплуатацию необходимы следующие документы:
2) градостроительный план земельного участка, представленный для получения разрешения на строительство, или в случае строительства, реконструкции линейного объектапроект планировки территории и проект межевания территории

В такой ситуации можно делать вывод о том, что разрешение на ввод в эксплуатацию не получен, а соответственно, нет оснований для передачи указанного помещения.

И с какого периода я могу оформлять страховку на квартиру, и закладную? От даты акта? Или с момента подписания?

 И в этой связи, закладная на квартиру, также как и обязанность страхования у Вас возникает с даты подписания акта.