Может ли новый собственник сразу не заключить трудовой договор с руководителем учреждением?

Трудовой договор является заключенным непосредственно сразу же, как только работник приступил к работе. А вот за отсутствие письменного договора на собственника может быть наложен штраф. Письменный трудовой договор должен быть заключен сразу же и оформлен приказ о приеме на работу

Обязанность заключения трудового договора возложена Трудовым законодательством России. 
Не заключить договор Вы хоть и можете, но с точки зрения ТК РФ — это незаконно.

Ответственность за это установлена статьей 5.27 КоАП РФ.