Могут ли трудоустраивать официально с первого дня и как мне быть в таком случае?

Здравствуйте! Независимо от того, заключил ли работодатель с Вами письменный трудовой договор или нет, с момента, когда по поручению работодателя Вы преступили к работе, договор считается заключенным согласно нормы ст. 67 Трудового кодекса РФ:

Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя. Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. 

Ваш вопрос:

Могут ли трудоустраивать официально с первого дня

Ответ: могут, это не противоречит трудовому законодательству.

Ваш вопрос:

 как мне быть в таком случае?

Вам необходимо сказать работодателю о том, что Вы желаете расторгнуть трудовой договор. Трудовые книжки ведутся работодателем на работников, проработавших у них свыше 5 дней (ст. 66 Трудовой Кодекс РФ). Если Вы проработали только один день, скорее всего запись о Вашем трудоустройстве еще не сделана в трудовой книжке.

ст. 66 ТК РФ: Работодатель (за исключением работодателей — физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной

Для более подробной консультации по данному вопросу, Вы можете обратиться ко мне в чат, согласно правилам сайта услуги в чате платные.