И какое заявление мне нужно отправить в суд?

Здравствуйте. Вам нужно будет обратиться в суд с исковым заявлением об установлении юридического факта 

ГПК РФ Статья 264. Дела об установлении фактов, имеющих юридическое значение

1. Суд устанавливает факты, от которых зависит возникновение, изменение, прекращение личных или имущественных прав граждан, организаций.

2. Суд рассматривает дела об установлении:

1) родственных отношений;

2) факта нахождения на иждивении;

3) факта регистрации рождения, усыновления (удочерения), брака, расторжения брака, смерти;

4) факта признания отцовства;

5) факта принадлежности правоустанавливающих документов (за исключением воинских документов, паспорта и выдаваемых органами записи актов гражданского состояния свидетельств) лицу, имя, отчество или фамилия которого, указанные в документе, не совпадают с именем, отчеством или фамилией этого лица, указанными в паспорте или свидетельстве о рождении;

6) факта владения и пользования недвижимым имуществом;

7) факта несчастного случая;

8) факта смерти в определенное время и при определенных обстоятельствах в случае отказа органов записи актов гражданского состояния в регистрации смерти;

9) факта принятия наследства и места открытия наследства;

10) других имеющих юридическое значение фактов.

Я могу вам написать такой иск в суд 

1. Если дата рождения изменена в виду технической опечатки, достаточно написать заявление в ЗАГС. 

2. Если дата рождения изменена на основании документов,  то первоначально опять же обратитесь с заявлением в ЗАГС, если откажут, то тогда в суд с иском.