Как и на каком этапе проводят медкомиссию?

о документов, которые дают подписать по прибытии в военкомат,

В настоящее время, нормативного правового акта, определяющего призыв граждан, не имеющих мобилизационных предписаний, по мобилизации не принят.

Действующее законодательство в части определения вопросов призыва по мобилизации, в ст. 1 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» указывает, что 

2. В период мобилизации, в период военного положения и в военное время воинская обязанность граждан определяется федеральными конституционными законами, федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации и также предусматривает:

 
призыв на военную службу по мобилизации, в период военного положения и в военное время;

В настоящее время, в части порядка призыва по мобилизации действует лишь, Постановление Правительства РФ от 30 декабря 2006 г. N 852 «Об утверждении Положения о призыве граждан Российской Федерации по мобилизации, приписанных к воинским частям (предназначенных в специальные формирования), для прохождения военной службы на воинских должностях, предусмотренных штатами военного времени, или направления их для работы на должностях гражданского персонала Вооруженных Сил Российской Федерации, других войск, воинских формирований, органов и специальных формирований»

но данное постановление касается порядка призыва граждан у которых в военном билете имеется мобилизационное предписание.

Все остальные категории граждан призываются на основании врученной им повестки.

Прохождение медицинского освидетельствования при мобилизации предполагается поскольку ст. 18 ФЗ «О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации» — указано на возможность установления отсрочки от призыва при определении категории годности Г — временно негоден к военной службе.

Определить категорию годности должна врачебная комиссия, деятельность которой регламентирована ст. 5.1 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» и  Положением о военно-врачебной экспертизе.

Именно в них и указано, что врачи, руководящие работой по медицинскому освидетельствованию граждан,  по результатам медицинского освидетельствования дают заключение о годности гражданина к военной службе по следующим категориям:

А — годен к военной службе; 
Б — годен к военной службе с незначительными ограничениями; 
В — ограниченно годен к военной службе; 
Г — временно не годен к военной службе; 
Д — не годен к военной службе.

Таким образом, проведение медицинского освидетельствования при мобилизации является ее составляющей частью.

Также тут и отмечу на возможность обжалования вручения повестки, ссылаясь на постановление Правительства РФ от 30 декабря 2006 г. N 852

которым указано, что 

14. В случае невозможности призыва граждан, приписанных к воинским частям (специальным формированиям), осуществляется призыв граждан, не имеющих мобилизационных предписаний, и направление их в воинские части (специальные формирования) в целях их полного укомплектования до штатов военного времени.

Следуя логике первичным осуществляется призыв граждан, имеющих мобилизационное предписание, после этого осуществляется призыв иных категорий граждан. 

Перспектива такого обжалования действий военкомата пока не ясна ввиду отсутствия практики на сегодняшний день.

до документов, которые дают подписать по прибытии в военкомат,. Обязаны там дать подписать контракт?

 Решение о призыве должно приниматься призывной комиссией, которое заносится в протокол заседания призывной комиссии  и объявляется гражданину, призываемому на службу, ее председателем.

Что касается контракта, несмотря на то, что в указе Президента РФ от 21 сентября 2022 года № 647 «Об объявлении частичной мобилизации в Российской Федерации» отмечено, что граждане Российской Федерации, призванные на военную службу по мобилизации, имеют статус военнослужащих, проходящих военную службу в Вооруженных Силах Российской Федерации по контракту. — это не говорит об обязательности его заключения.

Действующее законодательством исходит из принципа добровольности заключения контракта, на что прямо указано в ст. 32 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»

2. В контракте о прохождении военной службызакрепляются добровольность поступления гражданина (иностранного гражданина) на военную службу, срок, в течение которого гражданин (иностранный гражданин) обязуется проходить военную службу, и условия контракта.

И в этой связи, на мой взгляд Вы имеете основания отказаться от его подписания.

Если вопрос касается отказа от заключения контракта:

Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»
 
Статья 32. Контракт о прохождении военной службы
 

2. В контракте о прохождении военной службы закрепляются добровольность поступления гражданина (иностранного гражданина) на военную службу, срок, в течение которого гражданин (иностранный гражданин) обязуется проходить военную службу, и условия контракта.