И возможно ли в настоящий момент выбрать альтернативную службу?

Нет, это невозможно.

Федеральный закон от 25.07.2002 N 113-ФЗ «Об альтернативной гражданской службе»
 

Статья 3. Граждане, направляемые на альтернативную гражданскую службу

 1. На альтернативную гражданскую службу направляются граждане мужского пола в возрасте от 18 до 27 лет, которые не пребывают в запасе, имеют право на замену военной службы по призыву альтернативной гражданской службой, лично подали заявление в военный комиссариат о желании заменить военную службу по призыву альтернативной гражданской службой и в отношении которых в соответствии с настоящим Федеральным законом призывной комиссией, создание которой регулируется Федеральным законом от 28 марта 1998 года N 53-ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» (далее — Федеральный закон «О воинской обязанности и военной службе»), принято соответствующее решение.
Таким образом, на альтернативную гражданскую службу могут быть направлены лица, не пребывающие в запасе. Призыву же по мобилизации подлежат как раз лица, пребывающие в запасе.

Федеральный закон от 26.02.1997 N 31-ФЗ «О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации»
 
Статья 17. Призыв граждан на военную службу по мобилизации

2. Призыву на военную службу по мобилизации подлежат граждане, пребывающие в запасе, не имеющие права на отсрочку от призыва на военную службу по мобилизации.

То есть это две разных категории граждан. и заменить призыв по мобилизации альтернативной гражданской службой невозможно.

Для этого необходимо подать соответствующую жалобу в вышестоящую инстанцию (призывная комиссия субъекта РФ) или в суд. Призывные мероприятия в отношении вас будут приостановлены до вынесения решения по жалобе. Председатель призывной комиссии объявляет решение гражданину, в отношении которого оно принято, и по требованию гражданина выдает ему копию решения (п. 6 ст. 28 Федерального закона от 28.03.1998 N 53-ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»).

В соответствии с п. 7 ст. 28 указанного закона решение призывной комиссии может быть обжаловано гражданином в установленный законодательством Российской Федерации срок со дня получения гражданином копии указанного решения в призывную комиссию соответствующего субъекта Российской Федерации или в суд. Жалоба гражданина должна быть рассмотрена в пятидневный срок со дня ее поступления в призывную комиссию соответствующего субъекта РФ. Реализация решения призывной комиссии приостанавливается до вынесения решения призывной комиссией соответствующего субъекта РФ или вступления в законную силу решения суда.

Если вы намерены обжаловать решение о призыве на военную службу и приостановить реализацию этого решения, необходимо подать жалобу, в первую очередь, на решение призывной комиссии. Если вы не согласны с заключением врачей-0экспертов, необходимо указать свои претензии в жалобе на решение призывной комиссии. Это важно, потому как в случае поданной жалобы на заключение медицинской комиссии реализация решения о вашем призыве не приостанавливается. Для обжалования решения призывной комиссии необходимо подать соответствующую жалобу в призывную комиссию субъекта РФ.

Жалоба на решение призывной комиссии составляется на имя председателя призывной комиссии субъекта РФ, в ней указываются ФИО, дата рождения, адрес регистрации, приблизительная дата прохождения медицинского освидетельствования и заседания призывной комиссии, а также ваши претензии и требования. Просите отменить решение призывной комиссии о призыве вас на военную службу и провести контрольное медицинское освидетельствование. Воспользуйтесь услугами почты России и отправьте жалобу заказным письмом с уведомлением о вручении.

Здравствуйте. Выбор альтернативной службы является Конституционным правом. 

С уважением, Олег Б.