На меня собираются написать заявление в связи с нанесением некачественной тату

Доказать тут сложно, поскольку условия к качеству оказанной услуги должны быть определены в договоре. В его отсутствие доказать допущенные отступления от требований к качеству будет проблематично.

Однако, есть риск привлечения к административной ответственности по ст. 14.1 КоАП РФ 

1. Осуществление предпринимательской деятельности без государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя или без государственной регистрации в качестве юридического лица, за исключением случаев, предусмотренных частью 2 статьи 14.17.1 настоящего Кодекса, — влечет наложение административного штрафа в размере от пятисот до двух тысяч рублей.

Как я понимаю, никаких письменных договоренностей по поводу внешнего вида татуировки не было. Поэтому суждения о ее качестве носит субъективный характер и потому достаточно спорный

По сути,  вам может грозить разве что административная ответственность, если вы осуществляли предпринимательскую деятельность если на вас подадут иск или жалобу.

Что он хочет? 

Вернуть деньги или свести тату?

 2 варианта: вернуть деньги или выполнить иное условия, чтоб минимизировать последствия.

                     либо отказать и ждать жалобу или иск.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 24.10.2006 N 18 (ред. от 25.06.2019) «О некоторых вопросах, возникающих у судов при применении Особенной части Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях»

Доказательствами, подтверждающими факт занятия указанными лицами деятельностью, направленной на систематическое получение прибыли, в частности, могут являться показания лиц, оплативших товары, работу, услуги, расписки в получении денежных средств, выписки из банковских счетов лица, привлекаемого к административной ответственности, акты передачи товаров (выполнения работ, оказания услуг), если из указанных документов следует, что денежные средства поступили за реализацию этими лицами товаров (выполнение работ, оказание услуг), размещение рекламных объявлений, выставление образцов товаров в местах продажи, закупку товаров и материалов, заключение договоров аренды помещений.

То есть, если вы постоянно этим занимаетесь, то доказать предпринимательскую деятельность можно

Продолжу.

В частности, может идти речь о применении (формально, пока) статьи 238 УК РФ.

УК РФ Статья 238. Производство, хранение, перевозка либо сбыт товаров и продукции, выполнение работ или оказание услуг, не отвечающих требованиям безопасности
1. Производство, хранение или перевозка в целях сбыта либо сбыт товаров и продукции, выполнение работ или оказание услуг, не отвечающих требованиям безопасности жизни или здоровья потребителей, а равно неправомерные выдача или использование официального документа, удостоверяющего соответствие указанных товаров, работ или услуг требованиям безопасности

Данный состав преступления подследственнен следователям Следственного Комитета России (СКР).

Под признаки Субъекта данного преступления, Вы, формально, подпадаете. Как следует из положений пункта 5 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 25.06.2019 N 18 «О судебной практике по делам о преступлениях, предусмотренных статьей 238 Уголовного кодекса Российской Федерации»,

Субъектом производства, хранения, перевозки в целях сбыта или сбыта товаров и продукции, выполнения работ или оказания услуг, не отвечающих требованиям безопасности, а также неправомерного использования официального документа, удостоверяющего соответствие указанных товаров, продукции, работ или услуг требованиям безопасности, может являться как руководитель организации, осуществляющей такую деятельность, независимо от ее организационно-правовой формы, или индивидуальный предприниматель, или их работник, так и лицо, фактически осуществляющее производство и оборот продукции и товаров, выполнение работ, оказание услуг без соответствующей государственной регистрации.

Как видим, состав преступления, предусмотренный частью 1 ст. 238 УК РФ (неквалифицированный состав преступления), является формальным, то есть, не предусматривает обязательного (конструктивного) наступления определенных, указанных в законе, уголовно — правовых последствий.