Что вообще можно мне сделать в этом случае?

Вступить вы вправе на долю квартиры и через суд. Хотя если вы с папой вместе с прописаны на вас не распространяется этот 6-ти месячный срок. Нотариус примет от вас документы на наследство и по истечении 6 месяцев.

Статья 1152. Принятие наследства

2. Принятие наследником части наследства означает принятие всего причитающегося ему наследства, в чем бы оно ни заключалось и где бы оно ни находилось.

 Но сразу как вступите банк предъявит к вам требования о погашении папиного долга.  

Статья 1175. Ответственность наследников по долгам наследодателя

1. Наследники, принявшие наследство, отвечают по долгам наследодателя солидарно (статья 323).
Каждый из наследников отвечает по долгам наследодателя в пределах стоимости перешедшего к нему наследственного имущества.

Если  вообще не пойдете ни к нотариусу ни в суд со стороны банка может быть иск о фактическом принятии наследства вами после смерти папы, раз вы  живете в этой же квартире. 

Вот примерно такого рода решение суда: 

Согласно п. 63 указанного Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 29.05.2012 года N 9, при рассмотрении дел о взыскании долгов наследодателя судом могут быть разрешены вопросы признания наследников принявшими наследство, определения состава наследственного имущества и его стоимости, в пределах которой к наследникам перешли долги наследодателя, взыскания суммы задолженности с наследников в пределах стоимости перешедшего к каждому из них наследственного имущества и т.д.
Из материалов дела следует, что ответчики Н.Е., Н.К., Н.В. в силу ст. 1143 ГК РФ являются наследниками первой очереди умершего Н.Ю.
Ответчикам и Н.Ю. квартира по адресу: ххх принадлежала на праве долевой собственности по 1/4 доли каждому.
На момент смерти ответчики проживали совместно с Н.Ю., продолжают проживать в квартире, зарегистрированы в ней по месту жительства, пользуются жилищно-коммунальными услугами, что ответчики не отрицали в своих пояснениях.
Вместе с тем, с заявлением об отказе от наследства Н.Е., Н.К., Н.В. к нотариусу не обращались, других доказательств, доподлинно подтверждающих факт не принятия наследства после смерти заемщика Н.Ю. ответчиками не представлено, как и отсутствуют доказательства того, что пользование 1\4 долей Н.Ю. в праве собственности на квартиру, невозможно.

Тяните пока сколько можете, не обращайтесь, может и банк никуда не пойдет.  

Здравствуйте, Виктория.

Подскажите, возможно ли как то через суд подать заявление на вступление только на долю квартиры ?

Не совсем понял этот вопрос. Если в состав наследства входит 1/2 доли, принадлежащая отцу, то часть этой доли принять, а от другой части (его же) отказаться нельзя, в том числе и через суд, так как отказ от части наследства недопустим (п.3 ст.1158 ГК РФ), приобретение наследником части наследства означает принятие им всего наследства, в чем бы оно не состояло и где не находилось (п.2 ст.1152 ГК РФ).

Стоимость долгов наследодателя, в пределах которой Вы отвечаете перед кредиторами равна стоимости наследственного имущества на дату открытия наследства. При этом, при разрешении дела в суде стоимость должна определятся как рыночная. Это следует из п.61 Постановления Пленума Верховного суда РФ от 29.05.2012 г №9 «О судебной практике по делам о наследовании».

Поскольку Вы зарегистрированы по месту жительства в общей квартире, в том числе были зарегистрированы на дату смерти отца, то считаетесь принявшей наследство в соответствии с п.2 ст.1153 ГК РФ (см. такжже разъснения в п.36 вышеуказанного Постановления Пленума). Поэтому, на данный момент Вам имеет смысл пока не обращаться к нотариусу чем дольше, тем лучше, поскольку продолжают течь сроки исковой давности по требованиям кредиторов к наследникам. По истечении указанных сроков это станет основанием для отказа в удовлетворении требований кредитора к Вам как к наследнику (п.2 ст.199, п.3 ст.1175 ГК РФ), при этом срок исковой давности по требованиям к наследникам не подлежит восстановлению, перерыву и приостановлению.

Также на данный момент можете обратиться  какое-либо экспертное  учрежедение для составления отчета об оценке рыночной стоимости доли отца, входящей в состав наследства.

Впоследствии, когда будете оформлять наследство у нотариуса данный отчет об оценке станет основанием для определения стоимости и нотариусом. (пп.5 и пп.8 п.1 ст.333.25 НК РФ). Какую стоимость брать -кадастровую или рыночную для целей оформления свидетельства о праве на наследство, определяется Вами по Вашему выбору. 

Что вообще можно мне сделать в этом случае ?

 Виктория!

Обратитесь в АС с иском о признании вашего умершего отца банкротом и спишите его долги

Федеральный закон от 26.10.2002 N 127-ФЗ (ред. от 28.06.2022, с изм. от 21.07.2022) «О несостоятельности (банкротстве)»
 
Статья 223.1. Условия и порядок банкротства гражданина в случае его смерти

1. Производство по делу о банкротстве гражданина может быть возбуждено после его смерти или объявления его умершим по заявлению конкурсного кредитора или уполномоченного органа, а также лиц, указанных в абзаце первом пункта 4 настоящей статьи.

4. Права и обязанности гражданина в деле о его банкротстве в случае смерти гражданина или объявления его умершим по истечении срока, установленного законодательством Российской Федерации для принятия наследства, осуществляют принявшие наследство наследники гражданина. Для признания наследников гражданина лицами, участвующими в деле о банкротстве гражданина, нотариус представляет по запросу суда копию наследственного дела.

При этом его доля в квартире останется с вами, т.к. при жизни, насколько я понимаю, это было его единственное жилье, на которое распространяется и после его смерти ст. 446 ГПК РФ