Сейчас его перевели в военный госпиталь рядом с частью, но уверенности, что его документы примут и его отправят на операцию и освободят от мобилизации - нет

Военный билет забрали в военкомате и позже передали в часть, куда его распределили. Из части он попал в госпиталь. Следует полагать из этого, что в военном билете отметка уже есть, раз его забрали

Исходя из Вами сказанного следует, что в отношении него принято решение о призыве — и он является военнослужащим.

Ввиду того, что его определили в госпиталь — то его право на охрану здоровья, закрепленное в ст. 16 ФЗ«О статусе военнослужащих» было реализовано.

О дальнейших перспективах определения его предназначения — будет ли он продолжать военную службу или подлежит увольнению (демобилизации) можно говорить только по результатам проведенного лечения и выводов ВВК, о направлении на которую он может подать рапорт.

По смыслу приказа Министра обороны РФ от 15.02.2016 N 55 «Об организации направления военнослужащих Вооруженных Сил Российской Федерации, граждан, проходящих военные сборы по линии Вооруженных Сил Российской Федерации, на медицинское освидетельствование»

8. Направление на медицинское освидетельствование подписывается командиром воинской части (руководителем центрального органа военного управления, начальником (руководителем) организации Вооруженных Сил), заверяется печатью.
Направление на медицинское освидетельствование выдается военнослужащему (сопровождающему его лицу) либо направляется почтовой связью в адрес начальника (руководителя) военно-медицинской организации, руководителя медицинской организации государственной (муниципальной) системы здравоохранения, где военнослужащий находится на обследовании и лечении.

Уволить его с военной службы по состоянию здоровья могут только при установлении заключением ВВК категории годности Д — негоден к военной службе.

На это прямо отмечено в указе  Президента РФ  от 21.09.2022 N 647 «Об объявлении частичной мобилизации в Российской Федерации» в силу которого увольнение предполагается

б) по состоянию здоровья — в связи с признанием их военно-врачебной комиссией не годными к военной службе, за исключением военнослужащих, изъявивших желание продолжить военную службу на воинских должностях, которые могут замещаться указанными военнослужащими;

Такое заключение выносится только при определившимся врачебно-экспертном исходе, под которым понимается  такое состояние здоровья, когда результаты обследования и лечения дают основание военно-врачебной комиссии вынести заключение о категории годности к военной службе (приравненной службе) и когда дальнейшее лечение не приведет к изменению категории годности к военной службе (приравненной службе).

Таким образом, остается дождаться результатов лечения и подать рапорт о проведении ВВК.

При отказе в удовлетворении рапорта он может обжаловать отказ, обратившись к вышестоящему командованию или путем подачи административного сика в гарнизонный суд.