Могу ли я во дворе своего частного дома, открыть точку быстрого питания?

Пётр, если у Вас земельный участок для ИЖС, с таким назначением з/у, Вы не сможете открыть кафе. При первой же проверке, Вы будете привлечены к административной ответственности, как минимум — ст. 8.8 КоАП РФ — использование земельных участков не по целевому назначению. Если площадь участка позволяет, межуйте, делите участок. Меняйте назначение вновь образованного участка.