Если может, то имеется ли срок давности взыскания?

Согласно Закону об ОСАГО страховые имеют право выдвигать требования виновникам ДТП только в случаях, если виновник:

умышленно причинил вред жизни или здоровью потерпевшего;
был за рулем в нетрезвом виде или отказался проходить медицинское освидетельствование;
не имел права быть за рулем, например его временно лишили прав или закончился срок действия водительского удостоверения;
скрылся с места происшествия;
не был вписан в полис ОСАГО (за исключением договоров без ограничения числа водителей);
был за рулем машины в период, когда ОСАГО не действовало, например если в полисе прописано, что страховка работает только весной и осенью, а авария случилась летом;
нарушил условия европротокола – не дождался, когда страховщик осмотрит машину, и в течение 15 дней с момента аварии (праздничные дни не считаются) начал ее ремонтировать или утилизировал;

К водителям такси, автобусов и грузовых автомобилей в законе об ОСАГО прописаны дополнительные требования. У машины обязательно должна быть действующая диагностическая карта.

владелец транспортного средства при заключении договора обязательного страхования предоставил страховщику недостоверные сведения, что привело к необоснованному уменьшению размера страховой премии.

Страховщик ОСАГО вправе требовать у виновника только ту сумму, которую выплатил за восстановление поврежденной машины и как возмещение ущерба жизни и здоровью потерпевшего.

Срок для такого обращения составляет 3 года с момента возмещения вреда страховой.