Заверить факт трудовых отношений между мной и работодателем, для подачи иска в суд за невыплату заработной платы за предыдущий месяц после увольнения

Согласно ст.15 ТК РФ:

Трудовые отношения — отношения, основанные на соглашении между работником и работодателем о личном выполнении работником за плату трудовой функции (работы по должности в соответствии со штатным расписанием, профессии, специальности с указанием квалификации; конкретного вида поручаемой работнику работы) в интересах, под управлением и контролем работодателя, подчинении работника правилам внутреннего трудового распорядка при обеспечении работодателем условий труда, предусмотренных трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором.

Для удовлетворения исковых требований необходимо представить суду доказательства того, что отношения истца и ответчика имеют признаки трудовых в соответствии со статьями 15 и 56 ТК РФ, устанавливающими понятия трудовых отношений и трудового договора. В частности, нужно доказать, что истец был фактически допущен ответчиком к выполнению трудовой функции, выполнял ее регулярно, подчинялся правилам внутреннего трудового распорядка, однако в нарушение закона трудовой договор с ним заключен не был. При непредставлении или недостаточности таких доказательств в удовлетворении требования будет отказано.

Как вариант обратитесь в Прокуратуру также с целью проведения проверки. Если исходя из Вашей переписки можно будет установить вышеизложенные обстоятельства, тогда отношения суд может признать трудовыми.