Будут ли ему платить зарплату пока он на больничном?

Он обязан в первую очередь сообщить о заболевании в военкомат и поставить отметку в отпускном билете.

На это также прямо указано в уставе гарнизонной и караульной службы ВС РФ

3. Все военнослужащие во время нахождения в отпуске или в командировке обязаны иметь отпускной билет или командировочное удостоверение при себе и предъявлять его по требованию начальников и старших.

В случае перемены адреса, получения разрешения на продление отпуска или срока командировки, болезни или по другим причинам, задерживающим своевременный выезд, военнослужащие должны немедленно сообщать об этом дежурному по военной комендатуре или в военный комиссариат или органы государственной власти и органы местного самоуправления (где встали на учет).

Основным документом, подтверждающим наличие причин, по которым он своевременно не прибыл из отпуска, является отметка в отпускном билете о болезни.

При совершении указанных действий с Вашей стороны, в силу Указа Президента РФ от 25.03.2015 N 161
«Об утверждении Устава военной полиции Вооруженных Сил Российской Федерации и внесении изменений в некоторые акты Президента Российской Федерации»

46.1. Военный комендант гарнизона(военный комиссар) немедленно сообщает о причине задержки военнослужащего командиру воинской части, из которой он прибыл, если военнослужащий, находящийся в отпуске или командировке, не может прибыть к месту своей службы вследствие заболевания или иных независящих от него обстоятельств.
В случае заболевания военнослужащего, находящегося в отпуске или командировке, военный комендант гарнизона(военный комиссар) направляет его на осмотр (медицинское освидетельствование) к врачу, в том числе для решения вопроса о необходимости оказания медицинской помощи в стационарных условиях.

Таким образом, нужно начать именно с обращение в военный комиссариат (где он встал на учет по прибытии в отпуск) для постановки отметки в отпускном билете.

будут ли ему платить зарплату пока он на больничном?

 Да, будут.

Вопросы выплаты довольствия регламентированы Приказом Министра обороны РФ от 06.12.2019 N 727, в силу которого

99. Военнослужащим по контрактуденежное довольствие выплачивается в полном объеме за период непрерывного нахождения на лечении в медицинских организациях и в отпуске по болезни, предусмотренном Положением о порядке прохождения военной службы.

Все что есть на руках это больничный, я пришла в военкомат и сообщила им то что произошло, после чего она больничный отправила в часть к которой он прикреплен. В увольнительном никакой отметки не поставили и даже его не спросили в военкомате