Но зарплата приходит на карту, могу ли я быть не до конца устроена?

Здравствуйте! Рекомендую Вам обратиться с этим вопросом в кадровую службу организации, где вы осуществляете трудовую деятельность. Тот факт, что Вам исправно приходит на карту заработная плата от работодателя свидетельствует о том, что Вы трудоустроены, но нужно все правильно юридически оформить-заключение трудовых договоров никто не отменял. Трудовой договор подписывается обеими сторонами. Ваш экземпляр должен быть Вам выдан на руки.