Так вот это вообще законно такое трудоустройство?

Добрый день. Трудовой договор — соглашение между работодателем и работником, в соответствии с которым работодатель обязуется предоставить работнику работу по обусловленной трудовой функции, обеспечить условия труда, предусмотренные трудовым законодательством. Вам должны были передать на подпись договор в двух экземплярах и один вы оставить себе. 

Если этого сделано не было то отношения с Вашим работодателем вне трудового договора. Уволить за прогул можно работника официально трудоустроенного. 

Допущение работника к исполнению трудовых обязанностей признается заключением трудового договора. А вот уклонение работодателя от подписания трудового договора может повлечь последствия, предусмотренные ст.5.27 КоАП РФ.