Есть ли какие препятствия и проблемы?

Олег, добрый день.

Очевидную проблему я вижу только одну. 

В соответствии со ст.56 Семейного кодекса РФ

1. Ребенок имеет право на защиту своих прав и законных интересов.

 Защита прав и законных интересов ребенка осуществляется родителями (лицами, их заменяющими), .......

Ребенок, не будучи Вами усыновленным, юридически для Вас чужой. Поэтому без оформления дополнительно полномочий представлять его в тех же образовательных и медицинских учреждениях, кружках, секциях и т.д. Вы не сможете.

Решить вопрос Вы можете, если Ваша супруга оформит на Вас доверенность у нотариуса (см. ст.182, ст.185, ст.185.1 ГК РФ).

Распространяться особо о том, что по факту ребенок не живет с мамой не стоит. 

Добрый день.

При согласии родителей ребенка о его проживании с Вами — к этому нет препятствий.

Тут нужно понимать, ст. 63 СК РФ предполагает, что 

1. Родители имеют право и обязаны воспитывать своих детей.
Родители несут ответственность за воспитание и развитие своих детей. Они обязаны заботиться о здоровье, физическом, психическом, духовном и нравственном развитии своих детей.
Родители имеют преимущественное право на обучение и воспитание своих детей перед всеми другими лицами.

Таким образом, оба родителя должны быть согласны с тем, что ребенок будет проживать с посторонним человеком и обучаться по месту его проживания.

При этом нужно учитывать, что Вы не являетесь его законным представителем, что предполагает передачу Вам распорядительных полномочий от одного из родителей на представление интересов ребенка, для чего предполагается оформление соответствующей доверенности, где ее предметом будет именно представление его интересов в том числе и в образовательных (включая дополнительного образования) учреждениях.