У них вообще может получится то что они затеяли?

Здравствуйте, Сергей. По Российскому законодательству животные считаются имуществом их собственников и подпадают под правила гражданского кодекса. Согласно статье 230 ГК РФ, безнадзорные животные — это те, которые не находятся под присмотром или контролем своих собственников и могут быть задержаны другими лицами. Если ваша собака находится под вашим присмотром и контролем, то она не является безнадзорной и ваши соседи не имеют права забирать ее или отдавать в приют. Вы можете предъявить им доказательства того, что вы являетесь собственником собаки (например, ветеринарный паспорт, клеймо или чип) и что вы надлежащим образом заботитесь о ней (например, чеки об оплате корма, услуг ветеринара, и т.д.). Если ваши соседи продолжают писать на вас заявления, вы можете обратиться в полицию или в орган местного самоуправления и пожаловаться на их действия.

Здравствуйте! После последнего закона все соседи стали смотреть внимательнее за соседями с собаками, как гуляют, в наморднике, где туалет, занмаются ли на спортивной площадке. Необходимо изучить закон и донести до соседей, что за собакой надлежащий уходи и кормление. условия соответствуют проживанию и осмотр проходи и здорова ли собака.

Закон 498 ФЗ РФ о Выгуле собак" В котором говорится. что необходимо соблюдать. 

Здравствуйте.

У них вообще может получится то что они затеяли?

 Это крайне маловероятно, практически невозможно. Животное с точки зрения законодательства является имуществом и на нее распространяются общие нормы о собственности:

Собственнику принадлежат права владения, пользования и распоряжения своим имуществом.

Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, не противоречащие закону и иным правовым актам и не нарушающие права и охраняемые законом интересы других лиц, в том числе отчуждать свое имущество в собственность другим лицам, передавать им, оставаясь собственником, права владения, пользования и распоряжения имуществом, отдавать имущество в залог и обременять его другими способами, распоряжаться им иным образом.

Статья 209 ГК РФ. 

И изъять домашнее животное могут только в исключительных случаях, например, если речь о жестоком обращении с животными. В Вашем случае об этом речи не идет. 

Ваши соседи могут обращаться куда угодно, это их конституционное право, поэтому самих по поводу самих заявлений можете сильно не переживать.