какую ответственность я могу понести за то, что работала вне РФ до увольнения?

Добрый день. 

Прежде всего налоговое резидентство в РФ считается в общем  случае по сроку нахождения в течении 12 месяцев в РФ. Если 183 дня и более — резидент, если менее — нерезидент( есть исключения) вне зависимости от отсутствия/наличия регистрации по месту жительства в РФ. При этом окончательно статус определяется на конец года. Т.е. число дней пребывания за пределами РФ для установления статуса резидента. будет окончательно определяться именно на конец года. Это установлено ст 207 НК www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_28165/c0d77f0e201172d5cd9978bf9dfa1ecd2ba4cf60/

Так же важно что НДФЛ в РФ налоговый нерезидент оплачивает с дохода от источника в РФ а резидент с общемирового дохода. При этом на настоящий момент к доходам от источника за пределами РФ относится в общем случае 

6) вознаграждение за выполнение трудовых или иных обязанностей, выполненную работу, оказанную услугу, совершение действия за пределами Российской Федерации

Отсюда 

— может ли работодатель узнать о моём статусе налогового резидентства, и каким образом?

Работодатель в целях исполнения обязанностей налогового агента по НДФЛ вправе выяснять у Вас этот статус 

— могут ли налоговые органы сообщить моему (бывшему/потенциальному) работодателю о моём статусе налогового резидентства? если да, то в какие сроки?

В случае проверки правильности исчисления НДФЛ им как налоговым агентом, если в ФНС имеются сведения о том что Вы нерезидент вопрос о правильности исчисления налога возникнет и сведения имеющиеся в ФНС станут известными работодателю

— какую ответственность я могу понести за то, что работала вне РФ до увольнения?

Никакой, если нет запрета на выезд из РФ по допуску с гос.тайне

— могут ли с меня взыскать налоговую задолженность по причине утраты мной налогового резидентства РФ?

Если в 2022г. Вы были в РФ 183 дня, Вы налоговый резидент, поэтому по 2022г. в этом случае ставка НДФЛ остается резидентсткой. По 2023г., если работаете за пределами РФ и не будете резидентом РФ НДФЛ в РФ не будет — норму привел ранее

— проверяет ли (и имеет ли возможность) работодатель проверить меня при новом трудоустройстве на факт выезда из страны или о моём статусе налогового резидентства?

Да, он вправе потребовать от Вас данные сведения, поскольку от этого зависит исполнение им обязанностей налогового агента по НДФЛ, а так же ряд вопросов в рамках ТК 

— какие иные трудности или ответственности я могу встретить в этой истории, если пойду устраиваться к этому работодателю?

Несогласие работодателя на заключение трудового договора с нерезидентом с условием работы за пределами РФ. Кроме того, предполагаю что Вы находитесь в Турции по туристическому ВНЖ, который не позволяет вести трудовую деятельность в стране, что чревато для Вас рисками депортации. 

Все остальные  моменты, а нюансов  масса, могут быть детально разобраны в рамках отдельной полноценной услуги в чате( кнопочка рядом с фото юриста, доступна при входе на сайт через браузер)

С уважением Евгений Беляев