Можно ли оформить дарственную на автомобиль сразу после покупки, еще до постановки его на учет?

Дарителю, нужно ли расписываться в ПТС, как последнему собственнику или же даритель составляет с одаряемым только договор дарения, а свою очередь одаряемый идёт с ДКП, договором дарения, СТС, ПТС регистрировать авто?

Подписи ставить надо.

Согласно Приказу МВД России от 23.04.2019 N 267 (ред. от 28.09.2020) «Об утверждении форм документов, идентифицирующих транспортное средство, и требований к ним» п. 32.2. 32.2. При совершении в установленном порядке сделок, направленных на отчуждение и приобретение права собственности на транспортные средства:
в строках «Наименование (ф.и.о.) собственника», «Адрес», указываются данные нового собственника, который приобрел право собственности на транспортное средство;
в строке «Дата продажи (передачи)» указывается число, месяц и год совершения сделки, направленной на отчуждение и приобретение права собственности на транспортное средство;
в строке «Документ на право собственности» указывается наименование документа, подтверждающего право собственности на транспортное средство, его номер (если имеется) и дата составления;
в строке «Подпись прежнего собственника» проставляется подпись прежнего собственника транспортного средства, а в строке «Подпись настоящего собственника» — подпись нового собственника.
Заполнение строк паспорта, предусмотренных данным подпунктом, осуществляется юридическими лицами или индивидуальными предпринимателями, а также физическими лицами, являющимися продавцами и (или) покупателями транспортных средств. В случаях, когда сделки, направленные на отчуждение и приобретение права собственности на транспортные средства, совершались с участием юридических лиц или индивидуальных предпринимателей, являющихся продавцами и (или) покупателями транспортных средств, заполненные строки заверяются оттисками их печатей (при их наличии).