Смогу ли я подать в суд если услуга будет оказана некачественно?

Добрый день!
По смыслу главы 27 Гражданского кодекса РФ договор может быть заключен не только в письменной, но и в устной форме, если стороны согласовали все его существенные условия.
Иными словами, если вы обратились к специалисту, обговорили с ним срок и стоимость оказания услуг (выполнения работ), а затем он оказал услугу, а вы ее оплатили — вы действовали в рамках заключенного договора.
При этом за некачественно выполненную работу или оказанную услугу вы вправе требовать возмещения.
Удачи вам!

Юлия, добрый день! 
Безусловно вы можете подать исковое заявление. 
Для искового заявления нужны доказательства того, что вам именно там оказали услугу. Например, переда подачей иска, обратиться в прокуратуру, Роспотребнадзор, написать претензию косметологу. 
После сбора доказательств можно обратиться в суд.