Могу ли я подать в суд на свою страховку, чтобы она мне выплатила, а сама уже судилась со вторым участником?

Добрый день!

Суд в иске отказал

Это непонятно с юридической точки зрения, т.к. при обоюдной вине суды удовлетворяют иски частично, исходя из соотношения виновность в ДТП и ущерба. Для полного ответа на вопрос необходимо изучить все документы.

Сказали вроде можно

Вас дезинформировали. При отсутствии у одной из сторон страхового полиса ОСАГО, либо при его недействительности (просрочка, подделка) возмещение ущерба происходит в рамках гражданских правоотношений, т.е. через суд.