У меня И могу я официально устроиться в бюджетное учреждение по трудовой книжке, чтоб стаж заработать

Лидия, добрый день! Согласно ст.  ТК РФ: Работодатель (за исключением работодателей — физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной (за исключением случаев, если в соответствии с настоящим Кодексом, иным федеральным законом трудовая книжка на работника не ведется).

Тем не менее, Вы можете с первого дня быть оформлены по трудовой книжке, но это по усмотрению руководителя  ТК РФ компании. Обычно, согласно ст. 70 ТК РФ: При заключении трудового договора в нем по соглашению сторон может быть предусмотрено условие об испытании работника в целях проверки его соответствия поручаемой работе.