Могут ли они обратиться в суд и что будет?

Вы сделали ещё одну карту, тем самым привязав её к тому же счету, которым пользуются Р2Р. 

И зачем институту именно карта Сбербанк? А другие банки не рассматриваются? 

Нужно видеть сам договор, они как правило стандартные, но все таки... 

Александр, добрый день!

Я отдавал карту Сбербанк в аренду для P2P.

Вы не имеете никаких законных оснований сдавать банковскую карту в аренду. Во-первых, в зависимости от договора обслуживания банковской карты, карта вам не принадлежит и является собственностью банка и, во-вторых, передача банковских карт запрещена самим договором обслуживания.

теперь мне пишут, что я должен заплатить штраф или они обратятся в суд. Это законно? Могут ли они обратиться в суд и что будет?

В суд никто не пойдет, так как ваш договор по аренде банковской карты изначально находится за рамками законодаетльства РФ. То есть договор незаконен, а все операции по данной карте либо их часть могут быть частью мошенических схем либо схем по отмыванию денежных средств, что по большому счету можно считать одним и темже.  

Так вот, по всем операциям по карте отвественность лежит именно на вас. Вы можете очень легко стать сооучасником по какому-нибудь уголвному делу, а ваша данная карта и все последующее могут быть заблокированы в силу ФЗ «О противодействии легализации (отмыванию) доходов, полученных преступным путем, и финансированию терроризма» от 07.08.2001 N 115-ФЗ.

То есть вас просто подставят.