Имеют ли право, и куда обращаться в таком случае?

Детские сады, школы, гимназии, лицеи -  не имеют никакого права контролировать условия жизни семьи, детей, тем более проводить какие-либо «проверки/обследования».

Это будет считаться — самоуправством, нарушение конституционных прав граждан на неприкосновенность жилища (ст. 25 Конституции РФ) и неприкосновенность частной жизни (ст. 23 ч. 1), а также запрет на сбор, хранение и использование информации о частной жизни граждан без их согласия.

Педагогические работники – не надзирательные и не контролирующие органы, в отношении семьи, для эттого есть органы опеки.

Наоборот, именно родители имеют преимущественное перед всеми иными лицами право на обучение и воспитание своих детей, по закону (ст. 44 ч. 1 ФЗ «Об образовании в РФ» и ст. 63 п. 1 Семейного кодекса РФ). А образовательные организации могут лишь оказывать родителям помощь в воспитании детей (ст. 44 ч. 2 ФЗ «Об образовании в РФ»), но никак не руководить ими и не надзирать за ними.

Такое самоуправство, может рассматриваться как нарушение неприкосновенности частной жизни (ст. 137 УК РФ), нарушение неприкосновенности жилища (ст. 139 УК РФ), либо — самоуправство (ст. 330 УК РФ, если действиями правонарушителя причинён существенный вред).

Педагог может просто посетить семью, но только с согласия или по приглашению родителей, чтобы ближе познакомиться с вами, наладить более близкий контакт с родственниками ученика. Но не чтобы контролировать семью, а исключительно в целях помогать ей в воспитании и образовании ребенка.