Ситуация у меня произошла следующая: Решили сделать в квартире ремонт, договорились с родственником, который делал уже ранее ремонт у других наших родственников

Это он её высылал.Ещё не указала, что как доказательство того, что он ведёт деятельность (без регистрации ип и ооо) есть его группа в вк актуальная.

Согласно ст.434 ГК РФ,

Договор в письменной форме может быть заключен путем составления одного документа (в том числе электронного), подписанного сторонами, или обмена письмами, телеграммами, электронными документами либо иными данными в соответствии с правилами абзаца второго пункта 1 статьи 160 настоящего Кодекса.

Таким образом, тот факт, что он выслал вам таблицу с суммами расходов, а вы её приняли и оплатили, подтверждает факт заключения вами с ним договора подряда.

Переписку с ним и его страницу в ВК вам нужно заверить у нотариуса и показать суду.

Но перед этим направьте ему заказной почтой письменную претензию на исправление его «косяков» и укажите срок для исправления. Также укажите, что в противном случае обратитесь в суд.

Возможно, уже на этом этапе он всё исправит.

Согласно ст.721 ГК РФ,

Качество выполненной подрядчиком работы должно соответствовать условиям договора подряда, а при отсутствии или неполноте условий договора требованиям, обычно предъявляемым к работам соответствующего рода.

Согласно ст.720 ГК РФ,

При возникновении между заказчиком и подрядчиком спора по поводу недостатков выполненной работы или их причин по требованию любой из сторон должна быть назначена экспертиза. 

Таким образом, если экспертиза подтвердит нарушения требований, обычно предъявляемых к таким работам, то у вас есть шансы взыскать с такого подрядчика компенсацию самостоятельного исправления недостатков либо обязать его исправить самостоятельно.