Я отдала ребёнка в частный садик, не подписав договора, я оплатила, ребёнок заболел, я решила что он перестанет ходить в садик, но садик не возвращает денег это законно

Добрый день!

обратитесь с письменным заявлением о возврате средств за услуги, которые фактически  Вам не оказаны ввиду вашего отказа от услуг. При написании заявления сошлитесь на п.1 ст. 782 ГК РФ) 

Исполнитель обязан вернуть эти средства, удержав только часть за фактически оказанные услуги.В противном случае у исполнителя возникает неосновательное обогащение (ст. 1102 ГК РФ), а у Вас основание идти с иском в суд.