Имеет ли руководство детского сада на требование этих документов?

С учетом моего ответа выше далее:

Приказ   Минпросвещения РФ от 15 мая 2020 года N 236  «Об утверждении Порядка приема на обучение по образовательным программам дошкольного образования» регулирует порядок приема в дошкольное образовательное учреждение.

Из Приказа следует:

9. Для направления и/или приема в образовательную организацию родители (законные представители) ребенка предъявляют следующие документы:....

11. Требование представления иных документов для приема детей в образовательные организации в части, не урегулированной законодательством об образовании, не допускается.

При этом медицинской справки в перечне предусмотренном данным Приказом нет.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учетом моих ответов выше далее:

Но также. в  Приказе   Минпросвещения РФ от 15 мая 2020 года N 236  «Об утверждении Порядка приема на обучение по образовательным программам дошкольного образования» регулирует порядок приема в дошкольное образовательное учреждение, указано еще одно основание.

Из Приказа следует:

8. Прием ....осуществляется по направлению органа исполнительной власти субъекта Российской Федерации или органа местного самоуправления ...

И вот порядок уже такого направления на зачисление. регулируется нормативным правовым актом регионального изи местного значения.

Если в Вашем случае речь идет  о г. Севастополе, услуга предоставляется согласно Приказу  Департамента образования г. Севастополя  от 1 августа 2017 года N 681-П  «Об утверждении административного регламента предоставления государственной услуги „Прием заявлений, постановка на учет и зачисление детей в образовательные учреждения (организации), реализующие основную общеобразовательную программу дошкольного образования (детские сады)“, можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://docs.cntd.ru/document/450316295

Вот из этого Приказа уже следует:

2.6.3. Необходимыми документами для предоставления государственной услуги в части зачисления в образовательное учреждение являются:

4) медицинское заключение (для детей, впервые поступающих в образовательную организацию);

Т.е. как видно, медицинское заключение обязательно для зачисления.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.