Если да, то в каком количестве?

Здравствуйте, Дмитрий. Само выселение семьи с несовершеннолетними из служебной квартиры не расценивается законодательством, как особенный случай. 

Согласно п. 1 части 2 ст.103 ЖК РФ не могут быть выселены из жилых помещений и служебных квартир: члены семьи военнослужащих, должностных лиц, сотрудников органов внутренних дел, органов федеральной службы безопасности, таможенных органов Российской Федерации, органов государственной противопожарной службы, органов по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ, учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, органов принудительного исполнения Российской Федерации, погибших (умерших) или пропавших без вести при исполнении обязанностей военной службы или служебных обязанностей;

Таким гражданам предоставляются другие жилые помещения в черте соответствующего населенного пункта.

Также вы могли бы остаться жить в квартире если у вас есть инвалидность 1 и 2 группы, наступившая по вине работодателя в следствие трудового увечья.

Вы к такой категории граждан не относитесь и вас могут попросить в связи с прекращением трудовых обязанностей покинуть с семьей помещение.

«Взыскание убытков в судебном порядке»  — убытки могут взыскать физические или юридические лица, права которых вы нарушили, согласно заключенному между вами договору. Возможно это было вам предупреждение при предъявлении требования о выселении.