Сможет ли мой работодатель это сделать, и возьмут ли меня в будущем на работу с выговором а трудовой деятельности?

Здравствуйте, Ксения!

Прогулом признается:
­невыход на работу без уважительных причин, т.е. отсутствие на работе в течение всего рабочего дня (смены) независимо от продолжительности рабочего дня (смены);
­нахождение работника без уважительных причин более 4 часов подряд в течение рабочего дня вне пределов рабочего места;
оставление без уважительной причины работы лицом, заключившим трудовой договор на неопределенный срок, без предупреждения работодателя о расторжении договора, а равно и до истечения двухнедельного срока предупреждения (ч. 1 ст. 80 ТК РФ);
оставление без уважительной причины работы лицом, заключившим трудовой договор на определенный срок, до истечения срока договора либо до истечения срока предупреждения о досрочном расторжении трудового договора (ст. 79, ч. 1  ст. 80, ст. 280, ч. 1 ст. 292, ч. 1 ст. 296 ТК РФ).
Основания для увольнения в связи с прогулом есть также в случае:
­ самовольного (без приказа) использования работником дней отгулов, 
­ самовольного (без приказа) ухода в отпуск (основной, дополнительный).

Основания для законного увольнения за однократное грубое неисполнение трудовых обязанностей без уважительной причины;

за неоднократное неисполнение трудовых обязанностей без уважительной причины;  

за то, что сотрудник не прошёл испытательный срок;

по собственному желанию

докажете, что прогул был уважительным, и вас никто не сможет уволить, Вам Удачи!

Надеюсь я помог Вам разобраться в Вашей ситуации, не забывайте оставлять свой плюсик,

С Уважением, Плотников В.Н.