Константин, добрый день!
воспитываю один ребёнка в возрасте 10 лет и не могу осуществлять поездки в командировки на основании статьи 259 ТК РФ
Имеете абсолютно право.
получил ответ от работодателя ,, Не устраивает увольняйся,,
Ответ дан в письменной форме или устной?
Вопрос, может ли так поступить работодатель?
Поступить, конечно же, может, но это противозаконо.
И какие действия стоит предпринять?
Могу предположить, что сказанное вашим работодателем было сказано на эмоциях. Никаких последствий за этим не последует.
Если всё-таки в отношении вас будет вынесен Приказ о направление вас в командировку либо озвученный в вашем вопросе ответ работодателя был получен в письменной форме, то втаком случае необходимо за защитой своего права обращаться либо в прокуратуру либо в трудовую инспекцию.