Может ли она проживать 2 года с бабушкой с нашего разрешения?

Добрый день.

ГК РФ Статья 20. Место жительства гражданина
 
2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

Конечно. Она может жить у бабушки этот период времени. Для привлечения внимание органов к этому вопросу оснований нет. Вы не уклоняетесь от родительских обязанностей.

Здравствуйте! Попробуйте уменьшить срок проживания с бабушкой, оставить на две недели, два месяца. приехать на каникулы. Ответственность родителей и бабушки разная. Даже если оставите доверенность, что бабушка будет подписывать согласие на прививки и другие заявления в школе, могут появиться другие сложности. Оформляя доверенность на проживание с бабушкой. учитывайте возраст и не согласие дочери, а и возраст бабушки.

ст.57.155СКРФ