Что вообще должен сделать военкомат и работодатель в таком случае?

Если у Вас идет именно речь об альтернативной гражданской службе (АГС), а не об альтернативной службе по которой Вы заключили контракт, то ориентироваться следует на ст. 23 ФЗ от 25.07.2002 N 113-ФЗ «Об альтернативной гражданской службе»

согласно которой

2. Гражданин подлежит увольнению с альтернативной гражданской службы:
в связи с признанием его военно-врачебной комиссией не годным к военной службе или ограниченно годным к военной службе;

И принимает решение о направлении Вас на ВВК не военкомат, а должностное лицо, уполномоченное о принятии решении на увольнение.

В силу Постановления Правительства РФ от 28.05.2004 N 256 «Об утверждении Положения о порядке прохождения альтернативной гражданской службы»

Обращения и жалобы гражданина, проходящего альтернативную гражданскую службу,по вопросам прохождения этой службы рассматриваются должностным лицом, определяемым руководителем федерального органа исполнительной власти или руководителем органа исполнительной власти субъекта Российской Федерации, которому подведомственна организация (далее — должностное лицо).

Поэтому обращаться Вам нужно в органа государственной власти, которому подведомственна Ваша организация в которой Вы проходите АГС.

И после прохождения ВВК, в случае если на признает Вас ограниченно годным к военной службе, для целей Вашего увольнения на имя указанного должностного лица на основании полученного заключения ВВК Ваш работодатель готовит представление на Ваше увольнение.

В военкомат в данном случае действительно Вам обращаться не нужно.