В какие сроки я должен оплатить эти издержки государству, и как мне узнать куда мне их оплачивать?

Добрый день. Если в приговоре у вас не указан этот порядок, то следует обратиться непосредственно в суд, к помощнику судьи, приговор выносившей. Она уже вам выдаст реквизиты на которые следует произвести оплату и сумму издержек, подлежащих оплате. 

Как правило все это делается быстро без дополнительных заявлений, простой явкой в суд. Уголовные составы в судах всегда были ближе к людям. 

По срокам оплаты не стоит затягивать. Примерно пара месяцев у вас есть до принудительного взыскания через службу судебных приставов