Здравствуйте.
1. Сама ситуация, безусловно, незаконная. Ее незаконность выражается и в отношении невыплаты Вам заработной платы, и в отсутствии оформления полноценного трудового договора.
Даже если не считать отношения трудовыми (а, как я понимаю, они по факту таковыми являлись, и Вы работали по расписанию и были другие признаки трудовых отношений), средства Вам выплатить должны по общим гражданско-правовым (имущественным) основаниям
Односторонний отказ от исполнения обязательства и одностороннее изменение его условий не допускаются, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом, другими законами или иными правовыми актами.
Статья 310 ГК РФ.
Но в рамках трудовых отношений ответственность работодателя строже и, помимо прочего, Вы можете через суд добиваться признания отношений трудовыми со всеми вытекающими последствиями
Признание отношений, возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями может осуществляться:
...
судом в случае, если физическое лицо, являющееся исполнителем по указанному договору, обратилось непосредственно в суд, или по материалам (документам), направленным государственной инспекцией труда, иными органами и лицами, обладающими необходимыми для этого полномочиями в соответствии с федеральными законами.
Статья 19.1. Трудового кодекса.
2. Поэтому отвечая на Ваш вопрос,
Подскажите, пожалуйста, что делать в данной ситуации?
советую в первую очередь собрать все возможные доказательства Вашей работы. Переписку с работодателем (его сотрудниками) сохраняйте, разговоры записывайте.
Имея доказательства, для начала можете обратиться к самому работодателю с претензией и указать, что требуете выплатить полагающуюся заработную плату. Укажите, что в случае ее невыплаты будете вынуждены обратиться в Трудовую инспекцию, Прокуратуру с жалобами. Пригрозите также судом.
Если Вас проигнорируют или откажут, обращайтесь в вышеуказанные органы. В первые два — с жалобами, в суд Вы можете обратиться с иском.
Возможно, после Ваших требований Вы не сможете дальше там работать, но незаконные действия работодателя будут ив дальнейшем сказываться на Вашем благополучии. Поэтому, стоит ли в таких условиях работать, подумайте.
Поскольку Вы заменяете баристу, думаю особого труда доказать наличие трудовых отношений не составит особого труда, но лучше привлечь к этому делу юриста. При этом, в случае задержки выплаты заработной платы можно будет истребовать через суд моральный вред, а также, в соответствии ос ст. 236 ТК РФ: