Какие последствия для организации за серую зарплату алименщику и кто может инициировать проверку?

Важно понимать что инициировать проверку в вашей организаци может налоговый орган если к нему поступит заявление от гражданина (бывшей супруги вашего работника). В том  случае закон позволяет требовать у компании документы о трудовых отношениях мужду Вами и работником.

Хотелось бы узнать есть ли прецеденты в судебной практике по данному вопросу?

Выплата «серой» зарплаты несет риск привлечения к ответственности за нарушение норм трудового права. В частности, по ч. 1 ст. 5.27 КоАП РФ. Кроме того, за неисполнение обязанностей налогового агента в крупном и особо крупном размере также предусмотрена уголовная ответственность по ст. 199.1 УК РФ. 

Согласно п. 19 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 26.11.2019 N 48
«О практике применения судами законодательства об ответственности за налоговые преступления»:

 Субъектом преступления, предусмотренного статьей 199.1 УК РФ, может быть руководитель организации или уполномоченный представитель организации либо лицо, фактически выполняющее обязанности руководителя организации, индивидуальный предприниматель, нотариус, занимающийся частной практикой, адвокат, учредивший адвокатский кабинет, а равно иное лицо, на которое в силу закона либо на основании доверенности возложены обязанности налогового агента по исчислению, удержанию или перечислению налогов и (или) сборов в соответствующий бюджет.
...

Здравствуйте! Нет не правильно понимаете. Заявление не могут оставить без рассмотрения. На основании Фз о рассмотрении обращений граждан, обязаны принять заявление, провести проверку и дать ответ.

Статья 10. Рассмотрение обращения Федеральный закон от 02.05.2006 N 59-ФЗ  «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации»

1. Государственный орган, орган местного самоуправления или должностное лицо:

 1) обеспечивает объективное, всестороннее и своевременное рассмотрение обращения, в случае необходимости — с участием гражданина, направившего обращение;

Другой вопрос, что даст такая проверка. Велика вероятность того, что дадут ответ, что заявленные факты не подтвердились.

Дело в том, что нужны доказательства того, что часть средств работодатель уплачивает неучтенным образом, а в виду того, что сам получатель и плательщик не заинтересованы в раскрытии этого факта — будет тяжело доказать, что средства получаются «в конверте».

В ходе проверке опросят лиц — и тут скорее всего работодатель предоставит трудовой договор и укажет, что заплатанные выплаты осуществляются в соответствии с ним.

Подтвердить факт выплат в конверте по факту можно только свидетельскими показаниями либо фиксацией на видео, а сами понимаете, что сделать это крайне тяжело.