Сможет ли он их выписать через суд

Да, разумеется новый собственник имеет право через суд выписать проживающих в его квартире. 

Здравствуйте, Мария.

Через суд выписать не сможет, если правильно выстроить линию защиты и соблюдены определенные условия.

Это связано с отказом Ваших родителей от приватизации.

Более подробно можете ознакомится в позиции Верховного суда в определении по ссылке:

https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/71210760/

Могу более подробно проконсультировать Вас с учетом всех обстоятельств дела, для этого можете обратиться ко мне в чат (кнопка «Общаться в чате» рядом с профилем).

      Добрый день, Мария! Нет, не сможет. Отказавшийся от участия в приватизации гражданин имеет право пользования этим помещением, которое в силу статьи 19 Федерального закона от 29 декабря 2004 г. № 189-ФЗ «О введении в действие Жилищного кодекса Российской Федерации», а также требований части 4 статьи 31 Жилищного кодекса Российской Федерации сохраняется за ним бессрочно. Более того, такое лицо не подлежит выселению по иску нового собственника спорной квартиры (в случае ее продажи).

        Поэтому выписаться они смогут только в добровольном порядке. 
      В случае, если Вам требуется более подробная правовая консультация по Вашему вопросу или правовая помощь в составлении документов, пишите в личный чат. 

      С уважением, кандидат юридических наук Алексей Валерьевич Колотилин

Мария Третинникова, здравствуйте!

Так как ваши родители отказались от приватизации, то у них возникло право пользования жильем бессрочно.

Новый покупатель не сможет признать их утратившими право пользования жилым помещением в судебном порядке, ваши родители не отказывались от своего права. А если новый собственник хочет признать их утратившими право пользования жилым помещением, то ему нужно будет доказать, что они не платят коммунальные, выехали из жилого помещения (ст. 83 ЖК РФ). При это если родители выедут под принуждением, то они могут возражать по данному поводу и доказывать, что выезд вынужденный