Имеет ли право сотрудник ПДН в свой выходной день вести опрос пострадавшего?

Доброго времени суток.

Нет, если заявление зарегистрировано в установленном порядке, его нельзя утилизировать. Иначе сотрудника полиции ждет дисциплинарная ответственность, вплоть до увольнения.

По заявлению, поданному в полицию проводится доследственная проверка в порядке ст.144 УПК РФ, если содержатся признаки преступления.

По ее окончании принимается одно из 3 решений, указанных в ст.145  УПК РФ

УПК РФ Статья 145. Решения, принимаемые по результатам рассмотрения сообщения о преступлении \ КонсультантПлюс (consultant.ru)

Добрый день.

утилизировать моё заявление,

 такое понятие или схожее с ним не содержится в УПК.

По любому зарегистрированному в ДЧ заявлению должна быть проведена проверка и вынесено решение. За этим строго следят.

Заявление могут выкинуть если вы оно не было зарегистрировано. Если  это ваш случай — вам ничего не мешает подать повторное заявление.

пострадавшим является ваш ребенок? 

Приказ МВД России от 15.10.2013 N 845 «Об утверждении Инструкции по организации деятельности подразделений по делам несовершеннолетних органов внутренних дел Российской Федерации»

Разрешение о постановке на профилактический учет дается в письменном виде начальником территориального органа МВД России или его заместителем. Указанными руководителями не реже одного раза в полугодие изучаются УПК, УПД на лиц, состоящих на профилактическом учете. По результатам изучения даются письменные указания, направленные на повышение эффективности профилактической работы.

Решение о постановке на учет а также иные связанные с этим решения принимает начальник отдела или его заместитель.

Можете обратиться сразу к нему в случаи бездействия.  или подать заявление на официальный сайт МВД. Тогда оно не потеряется.

Согласно ст. 53 ФЗ " о полиции"

Действия (бездействие) сотрудника полиции, нарушающие права и законные интересы гражданина, государственного и муниципального органа, общественного объединения, религиозной и иной организации, могут быть обжалованы в вышестоящий орган или вышестоящему должностному лицу, в органы прокуратуры 
 

 Имеет ли право сотрудник ПДН в свой выходной день вести опрос пострадавшего?

Имеет.

Конечно его может не быть на месте. Однако в этом случаи, вы скорее всего застанете его на следующий день