Здравствуйте.
1.
В 2005 году он умер нужно ли было вступать после него в наследство бывшей жене(моей тёте)?
Нет, поскольку она не являлась наследником, если они к этому моменту действительно развелись. К слову, даже если бы они брак не расторгли, в данной ситуации наличествовало бы фактическое принятие наследства
Признается, пока не доказано иное, что наследник принял наследство, если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, в частности если наследник:
вступил во владение или в управление наследственным имуществом;
принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц;
произвел за свой счет расходы на содержание наследственного имущества...
Статья 1153 ГК РФ.
2. Гораздо важнее сейчас то, что нужно узаконивать собственность на все жилое помещение. Проблема в том, что сделать это можно только через суд, например, по основанию приобретательной давности.
Лицо — гражданин или юридическое лицо, — не являющееся собственником имущества, но добросовестно, открыто и непрерывно владеющее как своим собственным недвижимым имуществом, если иные срок и условия приобретения не предусмотрены настоящей статьей, в течение пятнадцати лет либо иным имуществом в течение пяти лет, приобретает право собственности на это имущество (приобретательная давность).
До приобретения на имущество права собственности в силу приобретательной давности лицо, владеющее имуществом как своим собственным, имеет право на защиту своего владения против третьих лиц, не являющихся собственниками имущества, а также не имеющих прав на владение им в силу иного предусмотренного законом или договором основания.
ГК РФ.
И если это дело инициировать, органы публичной власти могут включиться в процесс и попытаться доказывать, что жилое помещение является выморочным, и поэтому должно принадлежать им.
Т.к. тетя не относится к наследникам бывшего мужа, то она может рассчитывать на наследство, если в 2004 году она являлась его нетрудоспособной иждивенкой, согласно п. 2 ст. 1148 ГК РФ
ГК РФ Статья 1148. Наследование нетрудоспособными иждивенцами наследодателя
https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34154/1633ef51c6506c9d4fb11a0f350ed55e8012983d/
В этом случае можно будет говорить о том, что тетя фактически приняли это наследство, т.к. проживала все это время в данной квартире, согласно п. 2 ст. 1153 ГК РФ.
Все эти факты придется доказывать в судебном порядке.
В противном случае, можно будет пытаться признать право собственности в порядке приобретательной давности — ст. 234 ГК РФ.
ГК РФ Статья 234. Приобретательная давность
www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_5142/cedd1e9010efd50dbafaee5ed993cabb70ebdbc0/
Критерии приобретения имущества таким путем не всегда преодолимые.
Подробнее о приобретательной давности приводится в Постановлении Пленума Верховного Суда РФ N 10, Пленума ВАС РФ N 22 от 29.04.2010 «О некоторых вопросах, возникающих в судебной практике при разрешении споров, связанных с защитой права собственности и других вещных прав»
Споры, связанные с применением правил о приобретательной давности
https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_100466/310c10669076685473a5eae80e18d8c5194e7be8/
Согласно п. 15 указанного Постановления для приобретения имущества по приобретательной давности:
1) приобретающее лицо, т.е. тетя, должны была не знать об отсутствии у нее права собственности на данную часть квартиры. Только такое владение будет считаться добросовестным.
2) владеть открыто, т.е. не скрывать факта проживания в квартире.
3) владеть непрерывно.
4) владеть как своим собственным, т.е. производить коммунальные платежи, ремонт и т.п.
В Вашем случае тетя знала и не могла не знать, что часть имущества находится в собственности иного лица, что может стать препятствием к удовлетворению такого иска.