Что делать, если заказчик не оплатил разработанный дизайн меню и использует его?

Здравствуйте, Евгения!
Плохо, с одной стороны, что вы не заключили договор в письменном виде.
С другой стороны у вас есть сохранённая переписка с заказчиком.
Рекомендую два пути 1 — заявление в полицию о мошенничестве — проведут проверку откажут в удовлетворении — у вас появятся контакты ответчиков — иск в суд, 2 — претензия и в последующем иск в суд.
Практика судов свидетельствует о том, что переписка в мессенджерах телеграм, вотсап принимается в качестве доказательств.
Советую обратиться к специалистам для составления процессуальных документов.
Удачи вам!

Здравствуйте, Евгения!

Пишите претензию если не ответят то иск в суд 

Исковое заявление необходимо оформить в соответствии с требованиями ст.ст. 131-132 ГПК РФ.

В шапке нужно указать наименование суда, куда вы хотите направить свой иск, ваши ФИО, адрес регистрации и номер телефона, или если это организация, то указать юридическое лицо, адрес и данные представителя. Также указать данные ответчика, которые известны.
Далее изложить саму проблему и суть обстоятельств, выдвинуть требования и указать конкретную сумму, которую должен будет выплатить ответчик. Также нужно описать, как вы старались решить проблему самостоятельно.
Необходимо перечислить всех документы, которые будут приложены к заявлению.
В заключении нужно указать дату и подпись истца.

Я вам могу написать такую претензию и  иск в суд, услуга платная.