Я хотела бы спросить, влияет ли своевременная подача досудебной претензии на остановку сроков одностороннего расторжения договора по желанию моего оппонента или только решение суда

влияет

Согласно пункту 2 статьи 452 ГК РФ, требование о расторжении договора может быть заявлено стороной в суд только после получения отказа другой стороны на предложение расторгнуть договор либо неполучения ответа в срок, указанный в предложении или установленный законом либо договором. Если срок ими не установлен, он составляет 30 дней. 

Доказательством соблюдения досудебного порядка урегулирования спора будут являться сведения о результате рассмотрения претензии ответчиком (письменный ответ) либо истечение срока ответа на претензию. Если указанный срок не истёк к моменту подачи иска, но при этом истекает к моменту разрешения вопроса об оставлении иска без рассмотрения, высока вероятность того, что суд признает досудебный порядок урегулирования спора соблюденным. 

В случае расторжения договора в судебном порядке истец не может менять правовое обоснование требования о расторжении договора, указанное им в соответствующей досудебной претензии.