Вопрос, дает ли ему данная бумага из суда право на упрощенное получение гражданства?

Добрый день! Так как в судебном порядке признан факт постоянного проживания в РФ с 2001 года, то 

друг приехал с родителями из Азербайджана в 2001 году

отец (гражданин РФ)

он может получить гражданство РФ в упрощенном порядке в соответствии со ст.16

2. Иностранный гражданин или лицо без гражданства, достигшие возраста восемнадцати лет, обладающие дееспособностью и постоянно проживающие в Российской Федерации (независимо от срока проживания), без учета требований, предусмотренных пунктами 1 — 3 части 1 статьи 15 настоящего Федерального закона, если указанные иностранный гражданин или лицо без гражданства:

3) имеют хотя бы одного родителя (усыновителя), являющегося гражданином Российской Федерации и проживающего в Российской Федерации;https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_445998/5050313ec016b284e360d8585518f78bce9c9a3a/

Здравствуйте, Альберт! 

Ст. 15 Федерального закона от 28 апреля 2023 г. № 138-ФЗ «О гражданстве Российской Федерации» устанавливает целый ряд условий для приема в гражданство РФ. Но  при этом, ст. 16  этого же ФЗ № 138 закрепляет, что перечень таких условий необязателен для отдельных категорий иностранных граждан. В частности, к таким категориям относятся иностранные граждане, которые 

— постоянно проживают на территории РФ и имеют хотя бы одного родителя (усыновителя), являющегося гражданином Российской Федерации

В данной ситуации ваш друг  имеет право на получение гражданства РФ в упрощенном порядке, так как факт постоянного проживания подтвержден, а родитель — гражданин РФ. 

Так как родитель гражданин РФ уже умер, то при оформлении  гражданства РФ могут потребовать помимо свидетельства о рождении (где указан отец гражданин РФ) еще и копию свидетельства о  смерти. Копию свидетельства о смерти отца можно получить обратившись либо в ЗАГС либо в МФЦ.